Dan NICULA
ELECTRONIC
˘
A DIGITAL
˘
A
Carte de ˆınat¸˘atur˘a 2.0
Editura Universit˘at¸ii TRANSILVANIA din Bra¸sov
ISBN 978-606-19-0563-8
2015
Lect¸ia 4
Reprezentarea funct¸iilor logice cu forme
standard
4.1 Not¸iuni teoretice
Funct¸iile logice pot reprezentate ˆın dou˘a forme standard:
Forma Canonic˘a Normal˘a Disjunctiv˘a (FCND), sum˘a de produse (Engl. ”Sum Of Products”, SOP):
F =
2
N
1
i=0
(d
i
· m
i
)
Forma Canonic˘a Normal˘a Conjunctiv˘a (FCNC), produs de sume (Engl. ”Product of Sums”, POS):
F =
2
N
1
i=0
(d
i
+ M
i
)
S-au notat:
d
i
= coeficient¸ii care definesc funct¸ia;
m
i
= minterm, produs al tuturor variabilelor de intrare, negate sau nenegate.
M
i
= maxterm, sum˘a a tuturor variabilelor de intrare, negate sau nenegate.
Dac˘a d
i
= 1, i, rezult˘a a suma tuturor mintermilor este egal˘a cu 1:
2
N
1
i=0
m
i
= 1
,
Dac˘a d
i
= 0, i, rezult˘a a produsul tuturor maxtermilor este egal cu 0:
2
N
1
i=0
M
i
= 0
,
Exemplu: F = A B
50 LECT¸ IA 4. Reprezentarea funct¸iilor logice cu forme standard
index i A B F = A B Coeficient¸i Minterm Maxterm
0 0 0 0 d
0
= 0 m
0
= A · B M
0
= A + B
1 0 1 1 d
1
= 1 m
1
= A · B M
1
= A + B
2 1 0 1 d
2
= 1 m
2
= A · B M
2
= A + B
3 1 1 0 d
3
= 0 m
3
= A · B M
3
= A + B
SOP: F
SOP
=
(d
i
· m
i
) = 0 · m
0
+ 1 · m
1
+ 1 · m
2
+ 0 · m
3
= m
1
+ m
2
=
(1, 2)
POS: F
P OS
=
(d
i
+ M
i
) = (0 + M
0
) · (1 + M
1
) · (1 + M
2
) · (0 + M
3
) = M
0
· M
3
=
(0, 3)
Exemplu: F = A · B + A · B · C
index i A B C F = A · B + A · B · C Coeficient¸i Minterm Maxterm
0 0 0 0 1 d
0
= 1 m
0
= A · B · C M
0
= A + B + C
1 0 0 1 1 d
1
= 1 m
1
= A · B · C M
1
= A + B + C
2 0 1 0 0 d
2
= 0 m
2
= A · B · C M
2
= A + B + C
3 0 1 1 0 d
3
= 0 m
3
= A · B · C M
3
= A + B + C
4 1 0 0 0 d
4
= 0 m
4
= A · B · C M
4
= A + B + C
5 1 0 1 0 d
5
= 0 m
5
= A · B · C M
5
= A + B + C
6 1 1 0 0 d
6
= 0 m
6
= A · B · C M
6
= A + B + C
7 1 1 1 1 d
7
= 1 m
7
= A · B · C M
7
= A + B + C
SOP: F
SOP
=
(d
i
·m
i
) = 1·m
0
+1·m
1
+0·m
2
+0·m
3
+0·m
4
+0·m
5
+0·m
6
+1·m
7
= m
0
+m
1
+m
7
=
(0, 1, 7)
POS: F
P OS
=
(d
i
+ M
i
) = (1 + M
0
) · (1 + M
1
) · (0 + M
2
) · (0 + M
3
) · (0 + M
4
) · (0 + M
5
) · (0 + M
6
) · (1 + M
7
) =
= M
2
· M
3
· M
4
· M
5
· M
6
=
(2, 3, 4, 5, 6)
4.2 Pentru cei ce vor doar a promoveze examenul
1. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii ca sum˘a de mintermi:
a) F
1
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C + A · B · C
b) F
2
(A, B, C) = A · C + B + A · B · C
c) F
3
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C
d) F
4
(A, B, C) = A · C + C + A · B · C
Solut¸ie
a) Expresia funct¸iei este sub forma unei sume de produse ˆın care apar toate variabilele de intrare.
Reprezentarea binar˘a a indicelui unui minterm se deduce cu regula:
- dac˘a variabila este ne-negat˘a, bitul corespunz˘ator este egal cu 1,
- dac˘a variabila este negat˘a, atunci bitul corespunz˘ator este egal cu 0.
Indexul minterm-ului A · B · C este 111|
2
= 7|
10
.
Indexul minterm-ului A · B · C este 001|
2
= 1|
10
.
Indexul minterm-ului A · B · C este 110|
2
= 6|
10
.
Rezult˘a: F
1
(A, B, C) =
(7, 1, 6) =
(1, 6, 7)
b) Expresia funct¸iei este sub forma unei sume de produse ˆın care nu apar toate variabilele de intrare. Forma
cu produse cu toate variabilele de intrare se obt¸ine prin completarea fiec˘arui produs cu expresia (X + X) = 1
cu variabila (sau variabilele lips˘a). Ulterior, se reface forma de sum˘a de produse prin aplicarea distributivit˘atii.
Prin aceast˘a prelucrare este posibil˘a aparit¸iei ˆın sum˘a a aceluia¸si minterm. Unul dintre ei se va elimina, deoarece
m
i
· m
i
= m
i
.
4.2. Pentru cei ce vor doar a promoveze examenul 51
F
2
(A, B, C) = A · C + B + A · B · C = A · (B + B) · C + (A + A) · B · (C + C) + A · B · C =
= A · B · C + A · B · C +A ·B · C + A · B · C + A · B · C + A · B ·C + A · B · C =
(3, 1, 5, 4, 1, 0, 6) =
(0, 1, 3, 4, 5, 6)
2. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii ca produs de maxtermi:
a) F
1
(A, B, C) = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)
b) F
2
(A, B, C) = (A + C) · B · (A + B + C)
c) F
3
(A, B, C) = (A + B + C) · (A + B + C)
d) F
4
(A, B, C) = (A + C) · C · (A + B + C)
Solut¸ie
a) Expresia funct¸iei este sub forma unui produs de sume ˆın care apar toate variabilele de intrare.
Reprezentarea binar˘a a indicelui unui minterm se deduce cu regula:
- dac˘a variabila este ne-negat˘a, bitul corespunz˘ator este egal cu 0,
- dac˘a variabila este negat˘a, atunci bitul corespunz˘ator este egal cu 1.
Indexul maxterm-ului A + B + C este 000|
2
= 0|
10
.
Indexul maxterm-ului A + B + C este 110|
2
= 6|
10
.
Indexul maxterm-ului A + B + C este 001|
2
= 1|
10
.
Rezult˘a: F
1
(A, B, C) =
(0, 6, 1) =
(0, 1, 6)
b) Expresia funct¸iei este sub forma unui produs de sume ˆın care nu apar toate variabilele de intrare. Forma
cu sume cu toate variabilele de intrare se obt¸ine prin completarea fiec˘arei sume cu expresia (X · X) = 0 cu
variabila (sau variabilele lips˘a). Ulterior, se reface forma de produse de sume prin aplicarea distributivit˘atii.
Prin aceast˘a prelucrare este posibil˘a aparit¸iei ˆın produs a aceluia¸si maxterm. Unul dintre ei se va elimina,
deoarece M
i
+ M
i
= M
i
.
F
2
(A, B, C) = (A + C) · B · (A + B + C) = (A + B · B + C) · (A · A + B + C · C) · (A + B + C) =
= (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) =
=
(4, 6, 2, 3, 6, 7, 1) =
(1, 2, 3, 4, 6, 7)
3. Scriet¸i expresiile mintermilor m
i
¸si maxtermilor M
i
cu indicii precizat¸i asociat¸i urm˘atoarelor funct¸ii:
a) m
3
, M
4
, m
7
, M
7
pentru F (X, Y, Z)
b) m
3
, M
4
, m
7
, M
7
, m
13
¸si M
11
pentru F (A, B, C, D)
Solut¸ie
Se scrie indexul ˆın baza 2 ¸si se asociaz˘a cifrele binare cu variablele de intrare (prin pozit¸ie).
Pentru minterm:
- dac˘a variabila este asociat˘a cu 1 apare ˆın minterm ne-negat˘a,
- dac˘a variabila este asociat˘a cu 0 apare ˆın minterm negat˘a.
Pentru maxterm:
- dac˘a variabila este asociat˘a cu 0 apare ˆın minterm ne-negat˘a,
- dac˘a variabila este asociat˘a cu 1 apare ˆın minterm negat˘a.
a) F (X, Y, Z):
m
3
= X · Y · Z,
M
4
= X + Y + Z.
b) F (A, B, C, D):
m
3
= A · B · C · D,
M
4
= A + B + C + D,
m
13
= A · B · C · D,
M
11
= A + B + C + D
4. Scriet¸i expresiile funct¸iilor negate exprimate ˆın ambele forme canonice:
a) F
1
=
(0, 1, 5, 6, 7)
b) F
2
=
(2, 4, 6, 11, 14)
c) F
3
=
(0, 3, 5, 7)
d) F
4
=
(1, 2, 3, 12, 13)
52 LECT¸ IA 4. Reprezentarea funct¸iilor logice cu forme standard
Solut¸ie
Expresia funct¸iei negate, ˆın aceea¸si form˘a canonic˘a se obt¸ine considerˆand indec¸sii care nu apar ˆın expresia direct˘a.
Expresia funct¸iei negate, ˆın form˘a canonic˘a complementar˘a se obt¸ine considerˆand aceea¸si indec¸sii care apar ˆın
expresia direct˘a.
a) F
1
=
(0, 1, 5, 6, 7) =
(0, 1, 5, 6, 7) =
(2, 3, 4)
d) F
4
=
(1, 2, 3, 12, 13) =
(1, 2, 3, 12, 13) =
(0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)
5. Realizat¸i tabelul de adev˘ar al funct¸iilor:
a) F
1
=
(0, 1, 5, 6, 7)
b) F
2
=
(2, 4, 6, 11, 14)
c) F
3
=
(0, 3, 5, 7)
d) F
4
=
(1, 2, 3, 12, 13)
Solut¸ie
Coloana funct¸iei exprimat˘a ca SOP prezint˘a valoarea 1 pe andurile ale aror index apare ˆın expresia FCND.
ˆ
In
rest, valorile sunt 0.
Coloana funct¸iei exprimat˘a ca POS prezint˘a valoarea 0 pe andurile ale aror index apare ˆın expresia FCNC.
ˆ
In
rest, valorile sunt 1.
index i A B C F
1
=
(0, 1, 5, 6, 7) F
3
=
(0, 3, 5, 7)
0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1
2 0 1 0 0 1
3 0 1 0 0 0
4 1 0 0 0 1
5 1 0 1 1 0
6 1 1 0 1 1
7 1 1 0 1 0
4.3 Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e
1. Determinat¸i tabelul de adev˘ar al urm˘atoarelor funct¸ii ¸si apoi exprimat¸i-le ˆın formele standard FCND ¸si FCNC:
a) F
1
= (X · Y + Z) · (Y + X · Z)
b) F
2
= Y · Z + W · X · Y + W · X · Z + W · X · Z
c) F
3
= (X + Y ) · (Y + Z)
Solut¸ie
a) Prin prelucr˘ari analitice se obt¸ine:
F
1
= (X · Y + Z) · (Y + X · Z) = X · Y · Y + X · Y · X · Z + Z · Y + Z · X · Z = X · Y + X · Y · Z + Y · Z + X · Z =
= X · Y · (1 + Z) + Y · Z + X · Z = X · Y + Y · Z + X · Z
Din aceast˘a form˘a se deduce coloana de adev˘ar a funct¸iei F
1
: funct¸ia este egal˘a cu 1 dac˘a X = Y = 1 sau
Y = Z = 1 sau X = Z = 1.
X Y Z F
1
= (X · Y + Z) · (Y + X · Z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Funct¸ia se exprim˘a ca sum˘a de produse (mintermi) astfel:
F
1
= X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z
Funct¸ia se exprim˘a ca produs de sume (maxtermi) astfel:
F
1
= (X + Y + Z) · (X + Y + Z) · (X + Y + Z) · (X + Y + Z)
4.3. Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e 53
b) Din expresia dat˘a se obt¸ine direct tabelul de adev˘ar. Coloana funct¸iei va 1 dac˘a va ˆındeplinit˘a orice
condit¸ie astfel ˆıncˆat un produs din expresia funct¸iei a fie 1 (Y = 0 ¸si Z = 1, sau W = X = 1 ¸si Y = 0,
W = X = 1 ¸si Z = 0, sau W = X = 0 ¸si Z = 1).
W X Y Z F
2
= Y · Z + W · X · Y + W · X · Z + W · X · Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Funct¸ia se exprim˘a ca sum˘a de produse (mintermi) astfel:
F
2
= W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z
Funct¸ia se exprim˘a ca produs de sume (maxtermi) astfel:
F
2
= (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W +
X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z)
2. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii ca sum˘a de mintermi:
a) F
1
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C + A · B · C
b) F
2
(W, X, Y, Z) = W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z
c) F
3
(U, V, W, X, Y, Z) = U · V · W · X · Y · Z + U · V · W · X · Y · Z + U · V · W · X · Y · Z
Scriet¸i acelea¸si funct¸ii ca sume de mintermi cu variabilele ˆın alt˘a ordine:
F
1
(B, A, C), F
2
(X, Y, Z, W ), F
3
(X, Y, Z, U, V, W ).
Solut¸ie
F
1
(A, B, C) =
(3, 5, 6)
F
1
(B, A, C) = B · A · C + B · A · C + B · A · C =
(5, 3, 6) =
(3, 5, 6)
F
2
(W, X, Y, Z) =
(8, 2, 14)
F
2
(X, Y, Z, W ) = X · Y · Z · W + X · Y · Z · W + X · Y · Z · W =
(1, 4, 13)
Se concluzioneaz˘a a modificarea ordinii variabilelor modific˘a indicii mintermilor care apar ˆın expresia unei
funct¸ii (nu ¸si num˘arul acestora). Pe un caz particular, indicii mintermilor pot amˆane aceea¸si.
3. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii ca produs de maxtermi:
a) F
1
(A, B, C) = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)
b) F
2
(W, X, Y, Z) = (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z)
c) F
3
(U, V, W, X, Y, Z) = (U + V + W + X + Y + Z) · (U + V + W + X + Y + Z) · (U + V + W + X + Y + Z)
Scriet¸i acelea¸si funct¸ii ca produse de maxtermi cu variabilele ˆın alt˘a ordine:
F
1
(B, A, C), F
2
(X, Y, Z, W ), F
3
(X, Y, Z, U, V, W ).
Solut¸ie
F
1
(A, B, C) = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) =
(4, 2, 1)
F
1
(B, A, C) = (B + A + C) · (B + A + C) · (B + A + C) =
(2, 4, 1)
F
2
(W, X, Y, Z) = (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) · (W + X + Y + Z) =
(7, 13, 1)
F
2
(X, Y, Z, W ) = (X + Y + Z + W ) · (X + Y + Z + W ) · (X + Y + Z + W ) =
(14, 11, 2)
4. Scriet¸i expresiile mintermilor m
i
¸si maxtermilor M
i
cu indicii precizat¸i asociat¸i urm˘atoarelor funct¸ii:
a) m
2
, M
2
pentru F (X, Y, Z)
b) m
5
, M
5
, m
12
, M
12
, m
7
, M
7
, m
14
¸si M
14
pentru F (A, B, C, D)
54 LECT¸ IA 4. Reprezentarea funct¸iilor logice cu forme standard
c) m
4
, M
4
, m
10
, M
10
, m
23
, M
23
, m
29
¸si M
29
pentru F (V, W, X, Y, Z)
d) m
1
, M
1
, m
9
, M
9
, m
27
, M
27
, m
31
¸si M
31
pentru F (A, B, C, D, E)
Solut¸ie
a) F (X, Y, Z): m
2
= X · Y · Z, M
2
= X + Y + Z.
b) F (A, B, C, D): m
5
= A · B · C · D, M
5
= A + B + C + D, m
12
= A · B · C · D, M
12
= A + B + C + D,
m
7
= A · B · C · D, M
7
= A + B + C + D, m
14
= A · B · C · D, M
14
= A + B + C + D.
5. Scriet¸i complementara funct¸iei F (A, B, C , D) =
(0, 3, 7, 13) ˆın form˘a canonic˘a normal˘a disjunctiv˘a.
Solut¸ie
F (A, B, C, D) =
(0, 3, 7, 13) =
(0, 3, 7, 13) = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D
6. Expandat¸i expresiile funct¸iilor pentru a ajunge la formele standard de sume de produse.
a) F
a
(X, Y, Z) = Y + X · Z
b) F
b
(X, Y, Z) = Y + Z
c) F
c
(X, Y, Z) = Z + X · Y
Solut¸ie
a) Se adaug˘a variabilele lips˘a din produse, ˆın expresia X + X = 1:
F
a
(X, Y, Z) = Y + X · Z = (X + X) · Y · (Z + Z) + X · (Y + Y ) · Z =
(X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z) + (X · Y · Z + X · Y · Z) =
(7, 6, 3, 2, 2, 0) =
(0, 2, 3, 6, 7)
7. Expandat¸i expresiile funct¸iilor pentru a ajunge la formele standard de produse de sume.
a) F
a
(X, Y, Z) = Y · (X + Z)
b) F
b
(X, Y, Z) = Y · Z
c) F
c
(X, Y, Z) = Z · (X + Y )
Solut¸ie
a) Se adaug˘a variabilele lips˘a din sume, ˆın expresia X · X = 0:
F
a
(X, Y, Z) = Y · (X + Z) = (X · X + Y + Z · Z) · (X + Y · Y + Z) = ( X + Y + Z) · (X + Y + Z) · (X + Y + Z) ·
(X + Y + Z) · (X + Y + Z) · (X + Y + Z) =
(0, 1, 4, 5, 5, 7) =
(0, 1, 4, 5, 7)
8. Se consider˘a funct¸iile logice exprimate prin tabelul de adev˘ar urm˘ator:
A B C X Y Z W
0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 1
a) a se reprezinte fiecare funct¸ie ˆın formele standard.
b) a se deduc˘a formele standard ale funct¸iilor complementate.
c) a se simplifice funct¸iile prin prelucr˘ari algebrice.
Solut¸ie
a) X =
(0, 1, 2), Y =
(3, 4, 5, 6, 7), Z =
(0, 1, 2, 5), W =
(2, 3, 6, 7).
b) X =
(3, 4, 5, 6, 7), Y =
(0, 1, 2), Z =
(3, 4, 6, 7), W =
(0, 1, 4, 5).
c) X =
(0, 1, 2) = A · B · C + A · B · C + A · B · C = A · B · (C + C) + A · B · C = A · B + A · B · C =
A · (B + B · C) = A · (B + C) = A · B + A · C
Y =
(3, 4, 5, 6, 7) = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C = (A · B · C + A · B · C) + (A · B ·
C + A · B · C) + A · B · C = B · C + (A · B + A · B · C) = B · C + A(B + B · C) = B · C + A · B + A · C
Z =
(0, 1, 2, 5) = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C = (A · B · C + A · B · C) + A · B · C + A · B · C =
(A · B + A · B · C) + A · B · C = A(B + C) + A · B · C = A · B + A · C + A · B · C
W =
(2, 3, 6, 7) = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
4.3. Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e 55
9. Aflat¸i expresiile complementare (negate), exprimate ca sum˘a de mintermi:
a) F (A, B, C, D) =
(0, 2, 6, 11, 13, 14) b) F (A, B, C) =
(0, 3, 6, 7)
Solut¸ie
a) Funct¸ia complementar˘a prezina suma mintermilor care nu apar ˆın expresia init¸ial˘a de ”sum˘a de produse”:
F (A, B, C, D) =
(1, 3, 4, 5, 7, 8, 9 , 10, 12, 15)
b) Funct¸ia complementar˘a prezint˘a suma mintermilor corespunz˘atori maxtermilor care apar ˆın forma init¸ial˘a de
”produs de sume”:
F (A, B, C) =
(0, 3, 6, 7)
10. Convertit¸i funct¸iile ˆın forma standard complementar˘a celei prezentate:
a) F (A, B, C, D) =
(1, 3, 7, 10) b) F (A, B, C, D) =
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12)
Solut¸ie
Forma standard complementar˘a se obt¸ine prin interschimbarea simbolurilor
¸si
(din ”sum˘a de pro duse” ˆın
”produs de sume”) ¸si considerarea indec¸silor care nu apar ˆın expresia init¸ial˘a.
a) F (A, B, C, D) =
(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12 , 13, 14, 15)
b) F (A, B, C, D) =
(7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15)
11. Convertit¸i funct¸iile ˆın forme standard:
a) (A · B + C) · (B + C · D )
b) A + A · (A + B) · (B + C)
c) (A + B · C + C · D) · (B + E · F )
12. Determinat¸i tabelul de adev˘ar, forma canonic˘a conjunctiv˘a ¸si forma canonic˘a disjunctiv˘a pentru urm˘atoarele
expresii logice:
a) F
a
= (X · Y + Z) · (Y + X · Z) d) F
d
= (A + B) · (B + C)
b) F
b
= W · X · Y + W · X · Z + W · X · Z + Y · Z e) F
e
= X + X · Y
c) F
c
= X · Y + X · Z f) F
f
= X · Y · Z + X · Y + Z
Solut¸ie
a) F
a
(X, Y, Z) =
(0, 1, 2, 4) =
(3, 5, 6, 7)
X Y Z X · Y X · Y + Z X · Z Y + X · Z F
a
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
b) F
b
(X, Y, Z, W ) =
(4, 5, 9, 11, 12, 13, 15) =
(0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 14)
56 LECT¸ IA 4. Reprezentarea funct¸iilor logice cu forme standard
X Y Z W Y Z W · X · Y W · X · Z W · X · Z Y · Z F
b
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1
c) F
c
(X, Y, Z) =
(0, 1, 2, 3, 4) =
(5, 6, 7)
X Y Z X · Y X · Z F
c
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
d) F
d
(A, B, C) =
(2, 4, 5, 6) =
(0, 1, 3, 7)
A B C A B A + B B + C F
d
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1
e) F
e
=
(0, 1) =
(2, 3)
X Y X · Y F
e
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
f) F
f
=
(0, 4) =
(1, 2, 3, 5, 6, 7)
X Y Z X Z X · Y · Z X · Y F
f
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0 1
4.4. Pentru cei ce vor a devin˘a profesioni¸sti 57
13. Scriet¸i funct¸iile urm˘atoare ca sum˘a de mintermi (forma canonic˘a disjunctiv˘a).
F (A, B, C) = A · B · C + A · B · C + A · B · C
F (A, B, C, D) = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D
F (A, B, C, D, E) = A·B ·C ·D ·E +A·B ·C ·D ·E +A·B ·C ·D ·E +A·B ·C ·D ·E +A·B ·C ·D ·E +A·B ·C ·D ·E
14. Scriet¸i funct¸iile urm˘atoare ca produse de maxtermi (forma canonic˘a conjunctiv˘a).
F (A, B, C) = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)
F (A, B, C, D) = (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D)
F (A, B, C, D, E) = (A + B + C + D + E) · (A + B + C + D + E) · (A + B + C + D + E) · (A + B + C + D + E) ·
(A + B + C + D + E) · (A + B + C + D + E)
4.4 Pentru cei ce vor a devin˘a profesioni¸sti
1. Aplicat¸i teorema lui DeMorgan pentru a scrie funct¸ia F = (A + B) · C + D · E ˆın form˘a standard de sum˘a de
produse. Convertit¸i-o apoi ˆın form˘a de produs de sume.
Solut¸ie
Se aplic˘a teorema lui DeMorgan pentru a se obt¸ine o expresie care a nu cont¸in˘a neg˘ari asupra unor expresii
complexe (doar asupra variabilelor simple):
F = (A + B) · C + D · E = (A + B) · C · D · E = (A + B + C) · (D + E) = (A · B + C) · (D + E) =
= A · B · D + A · B · E + C · D + C · E
ˆ
In termenii produs se adaug˘a variabilele lips˘a astfel:
A
·
B
·
D
=
A
·
B
·
(
C
+ C
)
· D
·
(
E
+ E
) =
A
·
B
·
C
·
D
·
E
+
A
·
B
·
C
·
D
·
E
+
A
·
B
·
C
·
D
·
E
+
A
·
B
·
C
·
D
·
E
=
= m
5
+ m
4
+ m
1
+ m
0
=
(0, 1, 4, 5)
A · B · E = A · B · (C + C) · (D + D) · E = A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E =
= m
6
+ m
4
+ m
2
+ m
0
=
(0, 2, 4, 6)
C · D = (A + A ) · (B + B) · C · D · (E + E) = A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E +
+ A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E =
= m
25
+ m
24
+ m
17
+ m
16
+ m
9
+ m
8
+ m
1
+ m
0
=
(0, 1, 8, 9, 16, 17, 24, 25)
C·E = (A+A)·(B+B)·C·(D+D )·E = A·B·C ·D·E +A·B·C·D·E+A·B·C ·D·E+A·B·C ·D·E +A·B·C·D·E+
+ A · B · C · D · E + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E =
= m
26
+ m
24
+ m
18
+ m
16
+ m
10
+ m
8
+ m
2
+ m
0
=
(0, 2, 8, 10, 16, 18 , 24, 26)
Expresia final˘a a funct¸iei rezult˘a dup˘a reuniunea (ˆınsumarea) mintermilor ¸si excluderea celor dublat¸i, astfel:
F =
(0, 1, 4, 5) +
(0, 2, 4, 6) +
(0, 1, 8, 9, 16, 17, 24 , 25) +
(0, 2, 8, 10, 16, 18, 24, 26) =
=
(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 24, 25, 26)
Forma de produs de sume se obt¸ine prin considerarea maxtermilor cu index absent din forma de sum˘a de produse:
F =
(3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 28, 29, 30, 31)
2. Se consider˘a dou˘a funct¸ii logice F
1
=
(0, 1, 3) ¸si F
2
=
(0, 1, 4, 5). Ar˘atat¸i a:
a) funct¸ia E = F
1
+ F
2
cont¸ine reuniunea mintermilor apart¸inˆand funct¸iilor F
1
¸si F
2
,
b) funct¸ia G = F
1
· F
2
cont¸ine intersect¸ia mintermilor funct¸iilor F
1
¸si F
2
.
Solut¸ie
a) E = F
1
+ F
2
=
(0, 1, 3) +
(0, 1, 4, 5) =
(0, 1, 3, 0, 1, 4, 5) =
(0, 1, 3, 4, 5)
Deci, dac˘a F
1
=
(0, 1, 3) ¸si F
2
=
(0, 1, 4, 5) atunci F
1
+ F
2
= F
1
F
2
=
(0, 1, 3, 4, 5).
b) G = F
1
·F
2
=
(0, 1, 3)·
(0, 1, 4, 5) = (P
0
+P
1
+P
3
)·(P
0
+P
1
+P
4
+P
5
) = (P
0
·P
0
+P
0
·P
1
+P
0
·P
4
+P
0
·P
5
)+
(P
1
·P
0
+P
1
·P
1
+P
1
·P
4
+P
1
·P
5
)+(P
3
·P
0
+P
3
·P
1
+P
3
·P
4
+P
3
·P
5
) = (P
0
+0+0+0)+(0+P
1
+0+0)+(0+0+0+0) =
P
0
+ P
1
=
(0, 1)
Deci, dac˘a F
1
=
(0, 1, 3) ¸si F
2
=
(0, 1, 4, 5) atunci F
1
· F
2
= F
1
F
2
=
(0, 1).