Dan NICULA
ELECTRONIC
˘
A DIGITAL
˘
A
Carte de ˆınat¸˘atur˘a 2.0
Editura Universit˘at¸ii TRANSILVANIA din Bra¸sov
ISBN 978-606-19-0563-8
2015
Lect¸ia 2
Algebr˘a Boolean˘a
2.1 Not¸iuni teoretice
Algebra Boolean˘a este definit˘a pe mult¸imea binar˘a B = {0, 1} cu legile de compozit¸ie intern˘a:
- conjunct¸ie (AND, X · Y ),
- disjunct¸ie (OR, X + Y ),
- complement (NOT, X).
Axioma Forma cu operatorul
AND OR
Axioma 1. Mult¸imea B={0, 1} este ˆınchis˘a ˆın
raport cu operatorii AND ¸si OR
X, Y B X · Y B X, Y B X + Y B
Axioma 2. Asociativitatea X · (Y · Z) = (X · Y ) · Z X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z
Axioma 3. Comutativitatea X · Y = Y · X X + Y = Y + X
Axioma 4. Distributivitatea X ·(Y +Z) = X ·Y +X ·Z X +(Y ·Z) = (X +Y )·(X +Z)
Axioma 5. Existent¸a elementului neutru X · 1 = 1 · X = X X + 0 = 0 + X = X
Axioma 6. Existent¸a complementului X · X = X · X = 0 X + X = X + X = 1
Teorema Forma cu operatorul
AND OR
Teorema 1. Idempotent¸a (tautologia) X · X = X X + X = X
Teorema 2. Legea lui 0 ¸si a lui 1 X · 0 = 0 · X = 0 X + 1 = 1 + X = 1
Teorema 3. Dubla negat¸ie (involut¸ia) X = X X = X
Teorema 4. Absorbt¸ia direct˘a
Absorbt¸ia invers˘a
X · (X + Y ) = X
X · (X + Y ) = X · Y
X + X · Y = X
X + X · Y = X + Y
Teorema 5. Teorema lui DeMorgan X · Y = X + Y X + Y = X · Y
Suplimentar, pe baza legilor de compozit¸ie AND, OR, NOT, se define¸ste operatorul , denumit SAU EXCLUSIV
conform regulii:
X Y = X · Y + X · Y
26 LECT¸ IA 2. Algebr˘a Boolean˘a
2.2 Pentru cei ce vor doar a promoveze examenul
1. Determinat¸i ¸si justificat¸i valoarea de adev˘ar a fiec˘arei afirmat¸ii:
a) A · B + A · B + B · C = A · B + A · B + A · C
b) A + B · C = A + A · B · C
2. a se aplice teorema lui DeMorgan urm˘atoarelor expresii:
a) A · B · (C + D) d) A · B · (C · D + E)
b) A · B · C · D e) A · B + A · B
c) A + B + C f) A · B + A · B
Solut¸ie
Aplicarea teoremei lui DeMorgan: negata unei funct¸ii AND este o funct¸ie OR ˆın care tot¸i termenii se neag˘a.
Aplicarea teoremei lui DeMorgan: negata unei funct¸ii OR este o funct¸ie AND ˆın care tot¸i termenii se neag˘a.
b) A · B · C · D = A + B + C + D
c) A + B + C = A · B · C
3. Folosind algebra Boolean˘a, simplificat¸i expresiile ¸si aducet¸i-le la o form˘a echivalent˘a exprimat˘a cu un num˘ar
minim de litere.
a) X · Y + X · Y d) X · Y · Z + X · Y + X · Y · Z
b) (X + Y ) · (X + Y ) e) (X + Y ) · (X + Y )
c) Y · Z + Y · Z + X · Y · Z f) (Y + Z) · (Y + Z) · (X + Y + Z)
Solut¸ie
a) Utilizˆand A4 ¸si ulterior T1 expresia devine:
X · Y + X · Y = X · (Y + Y ) = X
b) Aplicˆand A4 ¸si T1 expresia devine:
(X + Y ) · (X + Y ) = X · X + X · Y + Y · X + Y · Y = X + X · (Y + Y ) + 0 = X + X · 1 + 0 = X + X + 0 = X
d) Conform A4 expresia devine:
X · Y · Z + X · Y + X · Y · Z = X · Y · (Z + Z) + X · Y Prin aplicarea A2 ¸si ulterior A4 ¸si ˆınc˘a o dat˘a A2:
X · Y + X · Y = Y · (X + X) = Y
e) Prin aplicarea T5 ¸si ulterior A6 expresia devine: (X + Y ) · (X + Y ) = X · Y · X · Y = 0
4. Aflat¸i expresiile complementare urm˘atoarelor expresii:
a) X · Y + X · Y c) (X + Y + Z) · X
b) X · Y + Z(W + Q) d) A · B + B · C + A · B · C
2.3 Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e
1. Determinat¸i ¸si justificat¸i valoarea de adev˘ar a fiec˘arei afirmat¸ii:
a) W · X + Y + Z = (W + Y + Z) · (X + Y + W · Z + W · Z)
b) X · Y + X · Y = X
c) X + X · Y = X + Y
d) X · (X + Y ) = X · Y
Solut¸ie
a) Expresia din partea dreapt˘a devine, dup˘a aplicarea A4:
(W + Y + Z) · (X + Y + W · Z + W · Z) = (W + Y + Z) · (X + Y + Z · (W + W ) =
utilizˆand A6 ¸si dup˘a aplicarea A4:
2.3. Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e 27
= (W + Y + Z) · (X + Y + Z) = W · X + W · Y + W · Z + Y · X + Y · Y + Y · Z + Z · X + Z · Y + Z · Z =
W · X + Y + Z · Y + Z + W · Z + X · Z =
utilizˆand T4 expresia devine egal˘a cu expresia din partea stˆang˘a:
= W · X + Y + Z
b) Prin aplicarea A4 ¸si utilizˆand A6, expresia din partea stˆang˘a devine:
X · Y + X · Y = X · (Y + Y ) = X
c) Prin aplicarea T4 este justificat˘a valoarea de adev˘ar a urm˘atoarei afirmat¸ii: X + X · Y = X + Y
d) Prin aplicarea A4 ¸si ulterior A6 expresiei din partea stˆang˘a, aceasta devine egal˘a cu expresia din partea
dreapt˘a: X · (X + Y ) = X · X + X · Y = X · Y
2. Utilizˆand axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene, a se demonstreze urm˘atoarele identit˘at¸i:
a) B + A · C = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)
b) A · D + C · D + A · B = A · C · D + A · C · D + A · B · C + A · B · C + A · C · D
c) D · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) = (D + A · C + A · C) · (A · C + B · D + A · C)
Solut¸ie
a) Expresia din partea dreapt˘a devine, dup˘a aplicarea A4:
(A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) =
= (A · A + A · B + A · C + A · B + B · B + B · C + A · C + B · C + C · C) · (A + B + C) =
utilizˆand A6, T1 ¸si ulterior A4 (invers, pentru B ¸si C):
= (A · B + A · C + A · B + B + B · C + A · C + C) · (A + B + C) =
= [C · (A + B + A + 1) + B · (A + A + 1)] · (A + B + C) =
utilizˆand T2, A5 ¸si aplicarea A4 (invers, pentru B):
= (C + B) · (A + B + C) = A · C + B · C + C · C + A · B + B · B + B · C =
observˆand a paranteza este egal˘a cu 1 ¸si aplicˆand A5, rezult˘a:
= A · C + B · (C + A + B + C) = A · C + B = B + A · C, expresie egal˘a cu expresia din partea stˆang˘a.
b) Prin gruparea termenilor din partea dreapt˘a, ¸si aplicarea A4:
(A · C · D + A · C · D) + (A · B · C + A · B · C) + A · C · D = C · D · (A + A) + A · B · (C + C) + A · C · D =
aplicarea A6 ¸si gruparea primului termen cu ultimul:
= C · D + A · B + A · C · D = (C · D + A · C · D) + A · B = D · (C + A · C) + A · B =
la parantez˘a se aplic˘a T4 ¸si apoi A4: = D · (C + A) + A · B = dup˘a aplicarea A4 ¸si A3:
= D · C + D · A + A · B = A · D + C · D + A · B, care este expresia din partea stˆang˘a.
c) Prin aplicarea A4 expresiilor din parantezele din partea stˆang˘a:
D · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) =
= D·(A·A+A·B+A·C +A·D+A·B+B·B+B·C +B·D+A·C +B·C+C·C+C·D+A·D+B·D+C·D+D·D) =
¸si restrˆangerea termenilor utilizˆand A6 ¸si T1:
= D · (0 + A ·B + A · C +A · D + A · B +B + B · C + B ·D + A · C + B · C + 0+ C · D + A ·D + B · D + C ·D + D) =
pe baza A3, se grupeaz˘a B ¸si D:
= D · [B · (A + A + 1 + C + D + C) + A · C + A · C + D · (A + A + C + 1)] =
¸si se observ˘a a parantezele rotunde sunt egale cu 1, conform T2:
= D · (B + A · C + A · C + D) = B · D + A · C · D + A · C · D
Expresia din partea dreapt˘a se proceseaz˘a conform A4, A6 ¸si T1:
(D + A · C + A · C) · (A · C + B · D + A · C) =
= A ·C · D +B · D ·D + A · C ·D + A · C ·A·C + A · C ·B ·D + A · C ·A·C + A · C ·A·C + A · C ·B ·D + A · C ·A·C =
= A · C · D + B · D + A · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D =
prin aplicarea A3 se grupeaz˘a favorabil termenii pentru a da ˆın factor B · D:
= (B · D + A · B · C · D + A · B · C · D) + A · C · D + A · C · D =
= B · D · (1 + A · C + A · C) + A · C · D + A · C · D =
prin aplicarea T2 se ajunge la aceea¸si expresie ca dup˘a procesarea art¸ii stˆangi:
= B · D + A · C · D + A · C · D
3. Utilizˆand axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene, a se demonstreze urm˘atoarele identit˘at¸i:
a) A · B · C + A · B + A · B · C · D = A · B · C + A · B + D
b) A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C = B · C + A · B + B · C
c) A · B · C · (B · D + C · D · E) + A · C = A · (C + B · D · E)
d) X · Y + X · Y = X
e) X + X · Y = X + Y
28 LECT¸ IA 2. Algebr˘a Boolean˘a
4. Utilizˆand axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene, a se determine forma minim˘a a funct¸iilor complementare
urm˘atoarelor:
a) F = [(A · B) · A] · [(A · B) · B] (funct¸ia A B exprimat˘a prin operatorul NAND)
b) F = (A + B + C) · (A · B + C · D) + B · C · D
c) F = (A · B · C + B · C · D) + (A · C · D + B · C · D + B · C · D)
d) F = X · (X + X · Y )
e) F = X · (X + 1)
Solut¸ie
a) F = [(A · B) · A] · [(A · B) · B] =
(A · B +A) · (A ·B + B) = A · B ·A · B +A · A · B + A · B · B +A · B = A ·B + 0 +0 + A ·B = A · B + A ·B = A B.
b) F = (A + B + C) · (A · B + C · D) + B · C · D = (A + B + C) · (A · B + C · D) + B · C · D =
= (A · B · C) · (A · B · C · D) + B · C · D = (A · B · C) · (A · B · C · D) + B · C · D = B · C · D
c)F = (A · B · C + B · C · D) + (A · C · D + B · C · D + B · C · D) =
= (A · B · C + B · C · D) · (A · C · D + B · C · D + B · C · D) =
= (A · B · C + B · C · D) · (A + C + D + B · C · D + B · C · D) =
= (A · B · C + B · C · D) · (A + D · (1 + B · C) + C · (1 + B · D)) =
= (A · B · C + B · C · D) · (A + D + C) =
= A · B · C · A + A · B · C · D + A · B · C · C + B · C · D · A + B · C · D · D + B · C · D · C =
= 0 + A · B · C · D + 0 + B · C · D · A + 0 + B · C · D =
= A · B · C · D + (A · B · C · D + B · C · D) = A · B · C · D + B · C · D
5. a se aplice teorema lui DeMorgan urm˘atoarelor expresii:
a) A · B · (C + D) e) A · B · (C · D + E · F )
b) (A + B + C + D) + A · B · C · D f) (A + B + C + D) · (A · B · C · D)
c) A · B · (C · D + E · F ) · (A · B + C · D) g) (A · B · C) · (E · F · G) + (H · I · J) · (K · L · M )
d) (A + B · C + C · D) + B · C h) (A + B) · (C + D) · (E + F ) · (G + H)
Solut¸ie
a) A · B · (C + D) = A + B + (C + D) = A + B + C · D = A + B + C · D
b) (A + B + C + D) + A · B · C · D = A · B · C · D + (A + B + C + D) = A · B · C · D + (A + B + C + D)
e) A · B · (C · D + E · F ) = A + B + (C · D + E · F ) = A + B + C · D · E · F = A + B + (C + D) · (E + F )
f) (A + B + C + D) · (A · B · C · D) = (A + B + C + D) + (A · B · C · D) = (A + B + C + D) + A · B · C · D
6. Demonstrat¸i identit˘at¸ile analitic, folosind axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene:
a) Y + X · Z + X · Y = X + Y + Z
b) X · Y · Z = X + Y + Z
c) X + Y · Z = (X + Y ) · (X + Z)
d) X · Y + Y · Z + X · Z = X · Y + Y · Z + X · Z
e) X · Y + X · Y + X · Y = X + Y
f) X · Y + Y · Z + X · Y + Y · Z = 1
g) X · Y + Y · Z + X · Z + X · Y + Y · Z = X · Y + X · Z + Y · Z
h) A · B + A · C · D + A · B · D + A · B · C · D = B + A · C · D
i) X · Z + W · Y · Z + W · Y · Z + W · X · Z = X · Z + W · Y · Z + W · X · Y + W · X · Y + X · Y · Z
Solut¸ie
a) Expresia din partea stˆang˘a se proceseaz˘a conform T4:
Y + X · Z + X · Y = Y + X + X · Z = Y + X + Z = X + Y + Z prin aplicarea A3 se ajunge la o expresie egal˘a
cu expresia din partea dreapt˘a.
b) Expresia din partea stˆang˘a devine, prin aplicarea T5, egal˘a cu expresia din partea dreapt˘a:
X · Y · Z = X + Y + Z
c) Utilizˆand A4 ¸si ulterior T4 expresia din partea dreapt˘a devine egal˘a cu cea din partea stˆang˘a:
(X + Y ) · (X + Z) = X · X + X · Z + Y · X + Y · Z = X + Y · Z
2.3. Pentru cei ce vor a ˆınvet¸e 29
d) X · Y + Y · Z + X · Z =
= X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z
X · Y + Y · Z + X · Z = X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z + X · Y · Z
e) Prin aplicarea A4 ¸si ulterior T1 expresia din partea dreapt˘a devine:
X · Y + X · Y + X · Y = X · (Y + Y ) + X · Y = X + X · Y = X + Y Aplicˆand T4 expresia devine egal˘a cu expresia
din partea stˆang˘a.
7. Folosind algebra Boolean˘a, simplificat¸i expresiile ¸si aducet¸i-le la o form˘a echivalent˘a exprimat˘a cu un num˘ar
minim de litere.
a) (X + Y ) · (X + Y ) k) (Y · Z + X · W ) · (X · Y + Z · W )
b) X · Y · Z + X · Z l) X · Y + X · (W · Z + W · Z)
c) X · Z + X · Y · Z + X · Z m) (X · Y + Z) + Z + X · Y + W · Z
d) X · Y · Z + X · Y + X · Y · Z n) X · Y · (W + Z · W ) + Y · (X + X · Z · W )
e) (X + Z) · (X + Z) · (X + Y + Z · W ) o) A · B · C + A · B · C + A · B
f) (A + B) · (A + B) p) A · B · C + A · C
g) B · C + B · (A · D + A · D) q) (A + B + A · B) · (A · B + A · C + B · C)
h X · Y + X · Y · Z + X · Y r) X + Y · (Z + X + Z)
i) W · X · (Z + Y · Z) + X · (W + W · Y · Z) s) (A · B + A · B) · (C · D + C · D) + A · C
j) X · (X + X · Y ) t) X · (X + 1)
Solut¸ie
a) Utilizˆand T6 ¸si ulterior T4 expresia devine: (X + Y ) · (X + Y ) = X · Y · (X + Y ) = X · Y
k) Dup˘a aplicarea A4 expresia devine:
(Y · Z + X · W ) · (X · Y + Z · W ) =
Y · Z · (X · Y + Z · W ) + X · W · (X · Y + Z · W ) = Y · Z · X · Y + Y · Z · Z · W + X · W · X · Y + X · W · Z · W
Dup˘a restrˆangerea termenilor utilizˆand A6: 0 + Y · Z · W + 0 + 0 = Y · Z · W
8. Aflat¸i complementul expresiei F = X + Y · Z. Ar˘atat¸i a F · F = 0 ¸si F + F = 1.
Solut¸ie
F = X + Y · Z = X · Y · Z = X · (Y + Z) = X · Y + X · Z
F · F = (X + Y · Z) · (X · Y + X · Z) = X · X · Y + X · X · Z + Y · Z · X · Y + Y · Z · X · Z = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
F +F = (X +Y ·Z)+(X ·Y +X ·Z) = (X +X ·Y )+Y ·Z +X ·Z = X +(Y +Y ·Z)+X ·Z = X +Y +(Z +X ·Z) =
= X + Y + Z + X = (X + X) + Y + Z = 1 + Y + Z = 1
9. Aflat¸i expresiile complementare urm˘atoarelor expresii:
a) X · Y + X · Y e) (X + Y + Z) · (X + Z) · (X + Y )
b) X · Y + Z · W + Q f) A · B + A · B
c) V · W + X · Y + Z g) W · X · (Y · Z + Y · Z) + W · X · (Y + Z) · (Y + Z)
d) (A + B + C) · (A · B + C) · (A + B · C)
Solut¸ie
Formele complementare ale expresiilor se obt¸in prin negarea acestora:
a) X · Y + X · Y = X · Y · X · Y = (X + Y ) · (X + Y )
b) X · Y + Z · W + Q = (X · Y ) · (Z · W ) · Q = (X + Y ) · (Z + W ) · Q
e) (X + Y + Z) · (X + Z) · (X + Y ) = (X + Y + Z) + (X + Z) + (X + Y ) = X · Y · Z + X · Z + X · Y
f) A · B + A · B = A · B + A · B = A · B · A · B = (A + B) · (A + B)
30 LECT¸ IA 2. Algebr˘a Boolean˘a
2.4 Pentru cei ce vor a devin˘a profesioni¸sti
1. S¸tiind a A · B = 0 ¸si a A + B = 1, dovedit¸i prin prelucr˘ari algebrice a A · C + A · B + B · C = B + C.
Dovedit¸i egalitatea prin forme de und˘a, analizˆand toate cazurile posibile ale celor trei intr˘ari.
Solut¸ie
Se consider˘a tabelul de adev˘ar:
and A B C A · B A + B A · C A · B B · C A · C + A · B + B · C B + C
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1
3 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
5 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
6 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
Se observ˘a a:
- ˆındeplinirea condit¸iei A · B = 0 se face pentru andurile 0, 1, 2, 3, 4, ¸si 5;
- ˆındeplinirea condit¸iei A + B = 1 se face pentru andurile 2, 3, 4, 5, 6, ¸si 7.
Rezult˘a a ambele condit¸ii sunt ˆındeplinite doar ˆın cazurile liniilor 2, 3, 4 ¸si 5.
ˆ
In aceste cazuri, expresia
ment¸ionat˘a este adev˘arat˘a (coloanele corespunz˘atoare au acelea¸si valori pe andurile 2, 3, 4 ¸si 5). Fomele de
und˘a sunt prezentate ˆın figura 2.1. De observat a, dac˘a ipotezele asupra semnalelor A ¸si B nu sunt ˆındeplinite,
expresia ment¸ionat˘a nu este adev˘arat˘a.
Figura 2.1 Forme de und˘a pentru problema 1.
Analitic, se observ˘a faptul a ˆındeplinirea condit¸iilor asupra semnalelor A ¸si B are loc doar dac˘a A ¸si B sunt
complementare (A = B).
ˆ
Inlocuind A cu B, expresia din partea stˆang˘a devine:
A
·
C
+
A · B + B · C = B · C + B · B + B · C = B · C + B · B + B · C = B · C + B + B · C = B · C + B = B + C.
2. Determinat¸i relat¸ia dintre num˘arul de variabile ale unei funct¸ii ¸si num˘arul total de funct¸ii diferite existente.
Calculat¸i num˘arul total de funct¸ii de 2, 3, 4, 5 ¸si 6 variabile.
Solut¸ie
O funct¸ie cu N variabile de intrare are 2
N
combinat¸ii diferite ale intr˘arilor.
ˆ
In fiecare din cele 2
N
combinat¸ii
funct¸ia poate avea dou˘a valori (0 sau 1). Num˘arul de funct¸ii distincte cu N intr˘ari este 2
2
N
.
Num˘ar de intr˘ari Num˘ar de funct¸ii distincte
2 2
2
2
= 2
4
= 16
3 2
2
3
= 2
8
= 256
4 2
2
4
= 2
16
= 65.536
5 2
2
5
= 2
32
= 4.294.967.296
6 2
2
6
= 2
64
= 18.446.744.073.709.551.616
2.4. Pentru cei ce vor a devin˘a profesioni¸sti 31
3. Determinat¸i ¸si justificat¸i valoarea de adev˘ar a fiec˘arei afirmat¸ii:
a) (A B) · C = (A · B) (B · C)
b) Z · X + Y + W · X · Y · Z = (X + Y + Z) · (X + Y + Z) · (Z + W + Y )
c) X · Y + Y · Z + X · Z = X · Y + Y · Z + X · Z
d) X · Z + Y = (X + Y + Z) · (X + Y + Z)
e) A · B · D + A · B · C + B · C · D + A · B · C = A · C · D + B · C · D + B · C · D + A · B · C
4. Utilizˆand axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene, a se demonstreze urm˘atoarele identit˘at¸i:
a) A 1 = A, A 0 = A, A A = 1, A A = 0
b) A · B + (A + B) · C = A · B + (A B) · C
c) A B = B A = A B
d) A B = A · B + A · B
e) A B = A B = A B
Solut¸ie
a) A 1 = A · 1 + A · 1 = 0 + A = A
A 0 = A · 0 + A · 0 = A + 0 = A
A A = A · A + A · A = A · A + A · A = A + A = 1
A A = A · A + A · A = 0 + 0 = 0
b) Expresia din partea stˆang˘a se proceseaz˘a conform A4 ¸si T4:
A · B + (A + B) · C = A · B + A · C + B · C = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C =
A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
prin aplicarea A4 ¸si T4 ˆın partea dreapt˘a se ajunge la o expresie egal˘a cu expresia rezultat˘a din partea stˆang˘a:
A · B + (A B) · C = A · B + A · B · C + A · B · C = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
c) A B = A · B + A · B
B A = B · A + B · A = A · B + A · B
B A = B · A + B · A = B · A + B · A = A · B + A · B
d) Expresia din partea stˆang˘a, conform A4 ¸si T4, devine:
A B = A · B + A · B = A · B · A · B = (A + B) · (A + B) = A · A + A · B + B · A + B · B = A · B + A · B, egal˘a
cu expresia din partea dreapt˘a.
5. Demonstrat¸i identit˘at¸ile analitic, folosind axiomele ¸si teoremele algebrei Booleene:
a) C · D + A · B + A · C + A · C + A · B + C · D = (A + B + C + D) · (A + B + C + D )
b) (A B) · C = (A · C) (B · C)